2023.12.14

確率微分方程式と伊藤積分の理解

marugotoyoten

カリフォルニア工科大学のYoutube動画「確率微分方程式と伊藤積分の理解」について要点と要約をまとめました

３つの要点

要点１
連続時間のランダムプロセスにおける利益と損失を表現するために確率積分が使用されます。
要点２
伊藤積分はブラウン運動プロセスに対して積分することで定義され、確率微分方程式に意味を与えるために使用されます。
要点３
伊藤積分の構築は、積分されるプロセスの適合性と積分の二乗モーメントの有限性に関する仮定に基づいています。

要約

連続時間における利益と損失の表現
連続時間における利益と損失を表現するためには、確率積分を使用する必要があります。この積分はランダムプロセスをモデル化するために使用され、確定的なシステムに使用される通常の微分方程式の拡張です。微分方程式にランダムな要素を追加することで、ランダムなシステムをモデル化することができます。

確率積分の定義
確率積分、または伊藤積分は、確率微分方程式に意味を与えるために使用されます。これにより、ブラウン運動プロセスに対して積分することができますが、ブラウン運動プロセスは時間に関して微分を持っていません。方程式を形式的に乗算して並べ替えることで、積分を時間に関しての積分として定義することができます。

伊藤積分の構築
伊藤積分の構築は、2つの仮定に基づいています。まず、積分されるプロセスである「y」は、ブラウン運動によって与えられる情報に適応している必要があります。つまり、「t」時点での「y」の値は、その時点までのブラウン運動の履歴にのみ依存するということです。二番目に、積分の二乗モーメントの期待値は有限である必要があります。これらの仮定により、積分が適切に定義されることが保証されます。

確率積分の存在
積分を離散化し、時間間隔がゼロに近づく限り、その極限が存在し、ランダム変数となることが示されています。この極限は確率積分または伊藤積分と呼ばれます。これは利益プロセスを表し、「I」と表記されます。確率積分の存在により、ランダムプロセスをモデル化することができ、確率微分法の有用なツールとなります。

▼今回の動画