2023.12.14

ブラック・ショールズの公式とマートン・ブラック・ショールズモデルの理解

marugotoyoten

カリフォルニア工科大学のYoutube動画「ブラック・ショールズの公式とマートン・ブラック・ショールズモデルの理解」について要点と要約をまとめました

３つの要点

要点１
ブラック・ショールズの公式とマートン・ブラック・ショールズモデルの導出方法
要点２
ブラック・ショールズモデルの構成要素と株価の明示的な表現
要点３
ブラック・ショールズの公式の導出方法とレプリケーションの概念

要約

ブラック・ショールズの公式とマートン・ブラック・ショールズモデルの導出
この講義では、ブラックとショールズがマートン・ブラック・ショールズモデルのコールオプションの公式を導出した方法を見ることができるレベルに達しました。私たちは洗練されたイトウの微分積分法を詳しくは扱っていませんが、イトウのルールや複製の概念など、モデルの仕組みを理解するために必要なツールを持っています。

ブラック・ショールズモデルとその構成要素
ブラック・ショールズモデルは、連続的に複利で利子が加算される銀行口座と、株価の変化（dS）が一定のmu倍のS dtに加えて、一定のsigma倍のSとブラウン運動の変化（dW）に等しい線形確率微分方程式に基づいています。この線形方程式は、線形常微分方程式と同様の解法を可能にし、株価の明示的な表現はS = S * e^ + sigma * – W)で与えられます。

ブラック・ショールズの公式の導出
ブラック・ショールズの公式の導出には2つの方法があります。ブラックとショールズが行った方法と似ている最初のアプローチでは、偏微分方程式を使用します。次のスライドでカバーするマルチンゲールリスクニュートラルプライシングアプローチという2番目のアプローチでは、ヨーロピアンタイプのパス非依存クレーム（コールオプションやプットオプションなど）の価格を、価格関数についての推測を行い、イトウのルールを適用することで求めます。また、オプションの価値を株式や銀行口座の取引によって複製しようとするレプリケーションの概念も導入します。

自己資金調達ポートフォリオと財産のダイナミクス
オプションの価値を複製するためには、株式と銀行口座を含むポートフォリオ戦略のダイナミクスを理解する必要があります。私たちは連続時間での自己資金調達ポートフォリオを定義し、財産の変化（dX）は株式の株式数（pi）乗の株価の変化（dS）に加えて、銀行口座の株式数（x – pi）乗の銀行口座の変化（dB）に等しいとします。ブラック・ショールズモデルでは、利子率や株式のリターンを考慮した財産のダイナミクスをより正確に表現することができます。自己資金調達ポートフォリオの理解は、ブラック・ショールズモデルだけでなく、他の金融モデルでも重要です。

▼今回の動画