2023.12.14

資産価格の基本定理の理解

marugotoyoten

カリフォルニア工科大学のYoutube動画「資産価格の基本定理の理解」について要点と要約をまとめました

３つの要点

要点１
第一の基本定理は、無裁定条件と等価マルチンゲール測度の関係を示しています。
要点２
マンデルブロのモデルは、取引コストを導入することで裁定取引が排除されることを示しています。
要点３
第二の基本定理は、完全な市場ではオプションやデリバティブは不要であり、1つの等価マルチンゲール測度が存在することを述べています。

要約

第一の基本定理
第一の基本定理は、金融市場における無裁定条件と少なくとも1つの等価マルチンゲール測度の存在は同等であることを述べています。この定理は、新しいモデルにおける裁定取引の有無を確認するために役立ちます。少なくとも1つの等価マルチンゲール測度の存在を確認する方が、すべての裁定取引の可能性を確認するよりも簡単です。

マンデルブロのモデルの歴史的な例
マンデルブロの分数ブラウン運動モデルは、第一の基本定理の応用を示しています。最初はこのモデルには裁定取引が存在すると考えられていましたが、後にわずかな取引コストを導入することで裁定取引が排除されることが証明されました。この例は、新しいモデルにおける裁定取引の確認にこの定理を実用的に使用することを示しています。

第二の基本定理
第二の基本定理は、市場モデルが完全である場合、すべてのランダムなペイオフを市場での取引によって複製できることを述べています。完全な市場では、オプションやデリバティブはペイオフが複製できるため不要になります。また、市場モデルが完全かつ裁定取引が存在しない場合、正確に1つの等価マルチンゲール測度が存在することも述べています。

不完全な市場における価格設定
実際の市場では、不完全な市場における請求書の価格は、すべての等価マルチンゲール測度に基づく最小価格と最大価格の間で変動することがあります。金融市場の売り買いスプレッドは市場の完全性を反映しており、スプレッドが小さいほど市場は完全です。不完全な市場における価格設定では、裁定取引の不在に加えて、リスクの好みや主観的な基準などの要素を考慮する必要があります。

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