2023.12.14

オプションの価格設定の理解にはマルチンゲール確率の概念が必要です

marugotoyoten

カリフォルニア工科大学のYoutube動画「オプションの価格設定の理解にはマルチンゲール確率の概念が必要です」について要点と要約をまとめました

３つの要点

要点１
マルチンゲール確率の概念の確立、オプションの価格設定の基礎
要点２
オプション価格の一般的な公式、マルチンゲール確率の下での期待値
要点３
複製とヘッジの重要性、オプションの価格の計算と複製のコスト

要約

マルチンゲール確率の概念の確立
オプションの価格を正しく設定するためには、マルチンゲール確率の概念を確立する必要があります。もし、割引された資産過程がマルチンゲール過程であり、割引された株価もマルチンゲール過程である確率qを見つけることができれば、資産過程もマルチンゲール過程です。この仮定は、マルチンゲール確率の下でオプションの価格を設定するための基礎となります。

オプション価格の主要な公式
クレームの複製コスト、つまりクレームを複製するポートフォリオのコストは、オプションの価格と等しいです。これは非常に一般的な公式であり、ヨーロピアンタイプの支払いに適用され、特定のモデルに依存しません。この公式は、オプションの価格が割引された将来のクレームの期待値とマルチンゲール確率の下で等しいことを述べています。

複製とヘッジの重要性
クレームを複製する能力は、オプションの価格設定において重要です。オプションのような複雑なクレームは完全に複製できないかもしれませんが、近似的な複製はオプションの価値のアイデアを提供することができます。オプションの価格の公式は、複製のコストを計算することを可能にし、それがオプションの価格となります。ヘッジは、オプションのペイオフを相殺するために基礎となる資産の取引を含む、クレームの複製手段としても議論されています。

オプション価格における確率の役割
オプションの価格設定モデルでは、基礎となる株価が上昇するか下降するかの実際の確率は重要ではありません。代わりに、上昇と下降の移動のための価格設定確率であるqと1-qが使用されます。これらの確率は、モデルのパラメータ（株価の上昇と下降の値、無リスク利子率など）に基づいて計算することができます。オプションの価格の公式は、u>1+rおよびu>dの条件が満たされている限り、マルチンゲール確率の存在を保証するため、有効です。

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